Принцип Дирихле

Многие вещи нам непонятны не потому,
что наши понятия слабы; но потому,
что сии вещи не входят в круг наших понятий.

Козьма Прутков

В несерьёзной форме принцип Дирихле (Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859), великий немецкий математик, изучал арифметику (теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии), математический анализ (признак сходимости Дирихле, ряды Дирихле), механику и математическую физику (принцип Дирихле в теории гармонических функций). Он, разумеется, и не подозревал, что его именем назовут столь простой и важный принцип.) гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов.»

Более общая формулировка: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z/k зайцев.» Не надо бояться дробного число зайцев — если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.

Один математик сказал, что Дирихле по частоте упоминаний школьниками навсегда обеспечено одно из самых высших мест. И добавил: "Пожалуй, есть способ лишить его лидерства — назвать чьим-нибудь именем принцип «никакое чётное число не равно никакому нечётному»."

Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения «от противного» часто встречаются. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем z/k. Тогда в k клетках зайцев меньше, чем k · (z/k) = z. Противоречие!


 
163.  

В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.
 

164.  

В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?
 

165.  

В классе 30 учеников. В диктанте Вова сделал 13 ошибок, остальные меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну.
 

166.  

Из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна. Докажите это.
 

167.  

Среди любых шести целых чисел найдутся два числа, разность которых кратна 5. Докажите это.
 

168.  

Докажите, что из любых n + 1 целых чисел можно выбрать два числа, разность которых нацело делится на n.
 

169.  

Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых — двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.
 

170.  

Из любых ли ста целых чисел можно выбрать два числа, сумма которых кратна 7?
 

171.  

Существуют ли а) пятьдесят; б) более пятидесяти различных двузначных чисел, сумма никаких двух из которых не равна 100?
 

172.  

Из любых ли а) 51; б) 52 целых чисел можно выбрать два числа, сумма или разность которых кратна 100?
 

173.  

На шахматной доске стоят 44 ферзя. Докажите, что каждый из них бьёт какого-нибудь другого ферзя.
 

174.  

Каждый из 10 участников переговоров послал по их окончании поздравительные открытки пятерым другим участникам. Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу.
 

175.  

В группе 30 человек. Каждому нравятся ровно k людей из этой группы. При каком наименьшем k обязательно найдутся два человека из этой группы, которые нравятся друг другу?
 

176.  

На плоскости нарисовали 5 прямых. Докажите, что угол между какими-то двумя из них не больше 36°. (Если какие-нибудь прямые параллельны, считайте, что угол между ними равен 0°.)
 

177.  

Какое наибольшее число клеток доски 6×6 можно покрасить, чтобы никакие две покрашенные клетки не соприкасались (даже в одной точке)?
 

178.  

На шахматной доске нельзя разместить более 32 не бьющих друг друга коней. Докажите это.
 

179.  

Найдите значение дроби

а)  В · А · Р · Е · Н · Ь · Е;
К · А · Р · Л · С · О · Н

б)  Г · Р · У · З · И · Я,
Т · Б · И · Л · И · С · И

где разные буквы — это разные цифры.
 

180.  

Из любых а) пяти; б) восьми; в) девяти целых чисел можно выбрать два таких, разность квадратов которых делится на а) 7; б) 13; в) 16. Докажите это.
 

181.  

В какое наибольшее число цветов можно раскрасить клетки доски 8×8 так, чтобы у каждой клетки среди её соседей (по стороне) были хотя бы две клетки, окрашенные в тот же цвет?