|
Избранные задачи домашней олимпиады А.В. Спивака
для 6–8 классов.
2002–2003 учебный год.
Часть I
|
1.
| На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, каждое утверждение которых ложно. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?» Первый ответил: «Ни
одного.» Второй сказал: «Один.» Что сказал третий?
| Ответ
Начало решения
Конец решения |
|
| Начало решения. Если первый — рыцарь, то в силу его слов второй и третий — лжецы, что противоречит высказыванию второго островитянина. Значит, первый — лжец. | |
|
Конец решения. Если второй — лжец, то в силу его слов третий тоже лжец, но тогда первый сказал правду, а он должен был соврать. Значит, второй и третий — рыцари. Третий честно ответил: «Один.»
| | |
| |
2.
| 
 Сэр заказал художнику герб в форме четверти круга, попросив окрасить герб в три цвета: цвет щедрости (жёлтый), храбрости (красный) и мудрости (синий). Увидев работу художника, сэр сказал, что на нём храбрости больше, чем мудрости. Однако художник утверждал, что мудрости и храбрости поровну. Кто был прав?
| Ответ
| |
Ответ. Художник был прав. | | |
| |
3.
| а) Поставьте 5 фишек на доску размером 8×8, чтобы любой состоящий из девяти клеток квадрат содержал в точности одну фишку.
б) Сколько фишек может стоять на шахматной доске, если любой состоящий из девяти клеток квадрат содержит в точности одну фишку?
| Ответ
Указание I Указание II
Указание III
Указание IV
Указание V | |
|
|
Указание I. В каждом из четырёх зелёных квадратов есть своя фишка:
Поэтому количество фишек не может быть меньше четырёх. Четырём оно равняться может:
| |
| Указание II. Пять фишек мы расставили при решении пункта а). Шесть фишек тоже можно расставить:
| |
|
|
Указание III. Вот расстановка семи фишек:
| |
|
Указание IV. Вот расстановка восьми фишек:
| |
|
Указание V. А вот и расстановка девяти фишек:
Более 9 фишек поставить нельзя, поскольку каждая из 9 окрашенных частей покрывается некоторым (своим для каждой части) квадратом размером 3×3 и по этой причине не может содержать более одной фишки:
| | |
| |
4.
| У Ани есть больше половины марок, которые есть у Бори. У Бори есть больше половины марок, которые есть у Вовы. У Вовы есть больше половины марок, которые есть у Ани. Верно ли, что некоторая марка есть у всех троих?
| |
5.
| Какие простые числа нельзя записать в виде суммы двух
составных чисел? | Ответ
Указание I
Указание II | |
|
|
Указание I. Всякое чётное число, начиная с числа 4, является составным. | | |
Указание II. Всякое нечётное число, начиная с 11, является суммой (составного!) числа 9 и чётного числа, которое больше числа 2 и поэтому является составным числом. | | |
|
|
6.
| Матроскин и Шарик каждое утро бегают на речку умываться. Они выбегают из дома одновременно и бегут по одной и той же тропинке. Матроскин бегает втрое быстрее Шарика, но моется вдвое дольше. Однажды Шарик, прибежав к речке, обнаружил, что забыл полотенце. Он побежал домой, схватил полотенце и вернулся к речке в тот момент, когда Матроскин закончил умываться. Кто обычно прибегает домой раньше — Шарик или Матроскин? | Ответ
Решение |
Ответ. Шарик и Матроскин прибегают одновременно. | |
| Решение. Обозначим буквой t время, которое тратит Матроскин на дорогу от дома до реки. Тогда Шарик тратит на эту дорогу время
3t. На возвращение за полотенцем и и на повторный путь к реке Шарик потратил время 3t + 3t = 6t. Следовательно, на умывание Матроскин потратил 3t + 6t – t = 8t, а Шарик моется за время 4t. Всего же на дорогу от дома до реки, умывание и обратный путь Шарик тратит обычно 3t + 4t + 3t = 10t,
а Матроскин тратит
t + 8t + t = 10t — столько же! | |
|
| |
7.
|
Придумайте три девятизначных числа, в записи каждого из которых встречаются все цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а сумма двух из этих чисел равна третьему.
| Ответ | |
Ответ.
987654321 – 123456789 = 864197532. | |
|
| |
8.
| а) Является ли старейший шахматист среди музыкантов старейшим музыкантом среди шахматистов? | Ответ
Решение |
|
Решение. «Шахматист среди музыкантов» — это человек, являющийся одновременно и шахматистом, и музыкантом. В точности то же самое — «музыкант среди шахматистов». | | |
б) Является ли лучший шахматист среди музыкантов лучшим музыкантом среди шахматистов?
| |
9.
| Предположим, что справедливы следующие утверждения.
- Среди людей, имеющих телевизоры, есть такие, которые не
являются малярами.
- Люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.
Верно ли, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?
| Ответ
Решение |
|
|
Решение. Рассмотрим (существующего в силу первого условия) владельца телевизора, не являющегося маляром. Если бы этот человек каждый день купался в бассейне, то у него (в силу второго условия) не было бы телевизора. Поскольку телевизор у него есть, то он не каждый день купается в бассейне, что и даёт ответ на вопрос задачи. | | |
| |
10.
|  а) Заполните пустые клетки квадрата левого рисунка буквами Т, У, Ш, И, Л так, чтобы в каждом столбце, каждой строке и на каждой из двух диагоналей все буквы встречались по одному разу.
|
Указание I Указание II
Указание III
Указание IV
Указание V
Указание VI Ответ |
|
 Указание I. Рассмотрим центральную клетку. Поскольку она расположена на диагоналях, содержащих клетки с буквами Ш, Т и Л, а кроме того и на вертикали, где расположена буква У, то для центральной клетки ничего не остаётся, кроме буквы И.
 Теперь советую посмотреть на правый верхний угол.
| |
|
|
Указание II. Из-за того, что на вертикали есть клетка с буквой Л, а на диагонали есть клетки с буквами Ш, И, Т,
в правом верхнем углу написана буква У.
  Очевидно, в оставшейся клетке
диагонали написана буква Л. Теперь рассмотрите левый верхний угол.
| |
|
 Указание III. На горизонтали есть клетка с буквой У, а на диагонали есть клетки с буквами Ш, И, Л.
Поэтому в левом верхнем углу — буква Т.
 В оставшейся клетке
диагонали — буква У. Теперь расмотрите пересечение крайней правой вертикали и второй сверху горизонтали.
| | |
Указание IV. На пересечении крайней правой вертикали и второй сверху горизонтали (из-за того, что на вертикали есть клетка с буквой Л, а
на горизонтали есть клетки с буквами Ш,
У, Т)
написана буква И.
В оставшейся клетке второй сверху горизонтали расположена буква Л. Рассмотрите теперь пересечение крайней левой вертикали и второй снизу горизонтали.
| | | |
Указание V. Поскольку на горизонтали есть клетка с буквой У, а на вертикали есть клетки с буквами Т, Л, Ш,
то на пересечении крайней левой вертикали и второй снизу горизонтали написана буква И.
В оставшейся клетке левой вертикали — буква У.
Теперь рассмотрите пересечение средней горизонтали и второй справа вертикали.
| |
|
Указание VI. Поскольку на горизонтали есть клетка с буквой И, а на вертикали есть клетки с буквами Ш, Л, У,
то на пересечении средней горизонтали и второй справа вертикали написана буква Т.
 В оставшейся клетке вертикали расположена буква И. Теперь рассмотрите пересечение средней вертикали и второй снизу горизонтали. Затем заполните оставшуюся клетку средней вертикали, оставшуюся клетку второй снизу горизонтали, и так далее.
| | | |
|
б) Сделайте то же самое для правого рисунка и букв А, В, Т, О, Р.
|
Указание
Ответ |
|
Указание. Рассмотрите центральную клетку. Буква в ней определена однозначно. Затем найдите ещё одну такую клетку, после этого ещё одну, и так до тех пор, пока не заполните всю доску.
| |
| |
|
|
|
