МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Можно ли между числами 1, 2, 3, ..., 50 расставить знаки + и – так, чтобы значение полученного выражения равнялось нулю?
 

На чудо-дереве растут 100 апельсинов и 99 бананов. Вася каждый день снимает с дерева два фрукта. Если это одинаковые фрукты, то на дереве вырастает новый апельсин, а если разные, то новый банан. В какой-то момент на дереве останется всего один фрукт. Какой?
 

Произведение семи целых чисел равно 23 673 843. Может ли их сумма равняться 1234?
 

Можно ли разрезать на «доминошки» шахматную доску, у которой а) вырезана одна угловая клетка; б) вырезаны две угловые клетки одной стороны доски; в) вырезаны две противоположные угловые клетки?
 

Ивану Ивановичу Иванову заплатили 123 450 рублей купюрами достоинством 10, 50 и 100 рублей. Он обнаружил, что 50-рублёвых купюр втрое больше, чем 10-рублёвых. Докажите, что он ошибся в подсчёте.
 

а) Можно ли соединить проводами 7 телефонов так, чтобы каждый был соединён ровно с тремя другими?
б) Докажите, что число людей, живущих и когда-либо живших на Земле и совершивших нечётное число рукопожатий, чётно.
 

Король собрал всех мудрецов королевства и решил устроить им испытание: собрать всех мудрецов в одном большом зале, завязать всем глаза и надеть каждому на голову красный или синий колпак, после чего глаза развязать и по очереди спрашивать у мудрецов: «Какого цвета Ваш колпак?». Отвечать можно только «красный» или «синий». Если ошибётся не более чем один из мудрецов, то испытание будет считаться успешно пройденным. В противном случае мудрецы будут отправлены на лесоповал. Любое общение (в том числе подмигивания, интонации, жесты и т.п.) мудрецов во время испытания запрещено. Мудрецы видят всех своих товарищей. О том, какое их ждёт испытание, мудрецы знают заранее. Могут ли они так договориться друг с другом, чтобы избежать тяжкой участи?

Дополнительные задачи

Существует ли замкнутая а) 6-звенная; б) 9-звенная ломаная, пересекающая каждое свое звено ровно один раз?
 

Существуют ли 100 треугольников, ни один из которых нельзя накрыть остальными 99-ю?