МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Рассмотрим последовательность уголков:

а) Чему равно k-ое нечётное число и сумма первых k нечётных чисел?
б) Чему равно k-ое чётное число и сумма первых k чётных чисел?
в) Вычислите сумму 100 последовательных нечётных чисел, начиная с 57.
 

Числа Т₁=1, Т₂=3, Т₃=6, Т₄=10, ... греческий математик Диофант называл треугольными:

...

... —

Найдите сумму первой сотни натуральных чисел.
 

Докажите геометрически теорему сложения треугольных чисел:

(Пифагорова таблица умножения.)
а) Докажите тождество mk=km (т.е. докажите, что
k + k + ... + k (m слагаемых) = m + m + ... + m (k слагаемых)).
б) Каковы размеры и площадь таблицы на рисунке?

Сколько клеток в k-том, считая от левого верхнего угла пифагоровой таблицы, «толстом» уголке, вершина которого — квадрат k×k клеток, а стороны составлены из прямоугольников 1×k, 2×k, ..., (k-1)×k клеток?
 

Найдите сумму 1³ + 2³ + ... +n³.
 

Сформулируйте и докажите теорему, описывающую явление: 3+5=2³, 7+9+11=3³, 13+15+17+19=4³, ...
 

Пятиугольные числа P₁=1, P₂=5, P₃=12, P₄=22, ... показаны на рисунке.

Докажите геометрически, что сумма n-го треугольного и n-го квадратного числа на n больше, чем n-ое пятиугольное число.
 

Число k² можно представлять себе как объём параллелепипеда 1×k×k, а сумму 1²+2²+...+n² — как объём пирамиды, сложенной из таких параллелепипедов (на рисунке изображена пирамида для суммы 1²+2²). Попробуйте, комбинируя такие пирамиды, получить какую-нибудь фигуру, объём которой легко сосчитать (например, куб, параллелепипед, призму и т.п.) и выведите формулу для суммы 1²+2²+...+n².
 

Сумму треугольных чисел T₁+T₂+...+T_n тоже можно представлять себе как объём некоторой пирамиды. Попробуйте геометрически найти формулу для суммы треугольных чисел (эта сумма обозначается П_n и называется n-ым пирамидальным числом).
 

Найдите геометрически сумму квадратов первых n нечётных чисел. Интересно, какие ещё суммы можно найти с помощью геометрических рассуждений?
 

Придумайте какой-нибудь способ получения формул для следующих сумм (геометрическое решение составителям неизвестно): а) П₁+П₂+...+П_n; б) 1⁴+2⁴+...+n⁴.