МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 12 (13.03.05)

1.

В турнире Архимеда участвуют команды из восьми человек. Сколькими способами можно в команде выбрать капитана и его заместителя?

Ответ Решение

Ответ. 56 способами.

Решение. Капитаном может быть любой из восьми человек, т.е. существует 8 способов выбрать капитана. Любой из оставшихся может стать заместителем капитана. Таким образом, для любого варианта выбора капитана (из 8 возможных) существует 7 способов выбрать его заместителя. Тогда всего 8×7=56 способов.

2.

За ящерицей в зоопарке наблюдали несколько школьников в течение 30 секунд. Каждый наблюдатель следил за животным ровно 10 секунд, за которые ящерица пробегала ровно 1 метр. Ящерицу ни на секунду не оставляли без присмотра. Могла ли она пробежать 4 метра?

Ответ Решение

Ответ. Да, могла.

Решение. Приведём пример ситуации, когда это возможно. Всего 4 наблюдателя. Первый следит первые десять секунд, второй — с шестой по пятнадцатую секунды, третий — с тринадцатой по двадцать вторую секунды, четвёртый — с двадцать первой по тридцатую. Ящерица пробегала по 1 метру в те промежутки времени, когда за ней следил только один школьник: в секунды с первой по пятую, с одиннадцатой по двенадцатую, с шестнадцатой по двадцатую, с двадцать третьей по тридцатую; и нисколько не пробегала, когда за ней следило сразу два человека: в секунды с шестой по десятую, с тринадцатой по пятнадцатую, с двадцать первой по двадцать вторую. Легко можно убедиться в том, что этот пример подходит.

3.

В математической карусели участвовали 12 команд. Сколькими способами можно распределить места между командами, если несколько команд не могут разделить одно место между собой?

Ответ Решение

Ответ. 12!

Решение. Первое место может занять любая из 12 команд. Второе место — любая из 11 оставшихся команд, третье — любая из 10 оставшихся, …, одиннадцатое — любая из двух ещё не выбранных команд и двенадцатое — последняя оставшаяся команда. Итого, 12·11·10·…·2·1=12! способов.

4.

В школьной столовой 5 кранов для умывания. Каждый может быть закрыт или открыт. Сколькими способами может течь вода в столовой?

Ответ Решение

Ответ. 32 способами.

Решение. Пронумеруем краны числами от одного до пяти. Первый кран может быть либо закрыт, либо открыт — два способа. В каждой из этих ситуаций второй кран может быть либо открыт, либо закрыт — итого имеем 2·2=4 способа. В каждой из этих четырёх ситуаций третий кран может быть либо закрыт, либо открыт, итого имеем 4·2=8 способов. И так далее. Получаем, что вода в столовой может течь 2·2·2·2·2=32 способами.

5.

Словом назовём произвольную последовательность букв. Сколько возможных слов можно составить, переставляя буквы в слове а) УЧЕНИК; б) МАМА; в) МАТЕМАТИКА?

Ответ Решение

Ответ.

a) 6! слов; б)	4!	слов; в)	10!	слов.
	2·2		2!·3!·2!

Решение.
а) Всего шесть букв. Все они попарно различны. Поэтому, составляя слово из данных букв, первой мы можем поставить любую из них, второй — любую из пяти оставшихся, …, шестой — последнюю оставшуюся. Т.о. всего 6·5·4·3·2·1=6! способов.
в) Есть 2 буквы М, 3 буквы А, 2 буквы Т. Все остальные буквы различны. Если предположить, что буквы M и Т бывают двух видов (красные и синие), буквы А — трёх видов (красная, синяя и зелёная), то всего таких слов существует 10! (аналогично пункту а)  ).
Но на самом деле у нас некоторые буквы одинаковые, поэтому мы некоторые слова посчитали несколько раз. Например, слова, в которых первая буква М — синяя, а вторая — красная, ничем не отличаются от слов, в которые первая буква М — красная, а вторая — синяя. Слов с одинаковыми буквами М в два раза меньше, чем слов с разными буквами М, потому что существует всего два способа покрасить две буквы в два цвета. Аналогично слов с одинаковыми буквами Т в два раза меньше, чем слов с разными буквами Т.
Слов с разными буквами И во столько раз больше, сколько существует способов покрасить буквы И в три цвета. Первую букву мы можем покрасить в один из трёх цветов, вторую — в один из двух цветов, третью — в оставшийся цвет. То есть мы насчитали слов в 3! раз больше, чем нужно.
Значит, посчитанное нами количество слов нужно разделить на 2, на 2 и на 3!.

6.

Два игрока по очереди ставят шахматных королей на доску 9×9 так, чтобы они не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его противник?

Ответ Решение

Ответ. Начинающий выиграет.

Решение. Своим первым ходом начинающий должен поставить короля в центральную клетку. Каждым следующим ходом он ставит короля в клетку, симметричную относительно центра доски той клетке, в которую поставил короля его противник своим последним ходом.
Эта стратегия приведёт начинающего к победе, т.к.:
Во-первых, после любого хода начинающего короли стоят на доске симметрично относительно центра доски.
Во-вторых, любые два короля, стоящие в клетках, симметричных относительно центра доски, не бьют друг друга.
Тогда если второй игрок нашёл клетку на доске для того, чтобы сделать ход, то ввиду симметричности расположения королей и первый может сделать ход. Значит, рано или поздно второй не сможет сделать ход и проиграет.

7.

Сколько разных ожерелий можно сделать из
а) 11 бусинок разных цветов;
б) 3 красных и 8 синих бусинок;
в) 3 красных и 8 синих бусинок, но красные нельзя ставить рядом?

Ответ Решение

Ответ. а) ^11!/₂₂ ожерелий; б) 10 ожерелий; в) 5 ожерелий.

Решение.
а) Переформулируем условие задачи. Будем считать, что у нас есть ожерелье с одиннадцатью белыми бусинками. Нам нужно покрасить каждую бусинку в один из 11 цветов, при этом каждый цвет мы должны использовать ровно один раз.
Тогда первую бусинку мы можем покрасить в один из 11 цветов, вторую — в любой из 10 — оставшихся, …, десятую — в любой из двух оставшихся, одиннадцатую — в последний оставшийся. Т. о. всего 11! вариантов получить ожерелье. Но при этом мы не учитываем, что все варианты разбиваются на группы по 11 штук, получающихся друг из друга поворотом (а это одинаковые ожерелья). Кроме того, все ожерелья можно разбить на пары совмещающихся переворотом, причём любые два таких варианта поворотом не совмещаются, т.е. находятся в разных группах по 11 штук. Т. о. количество способов получить ожерелье равно 11!⁄(11·2).