МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (294) 22.09.2012

Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ,

автор книг «Задачи по планиметрии», «Задачи по арифметике, алгебре и анализу».

Задачи по алгебре и анализу

Лекция состояла из нескольких отдельных сюжетов, в том числе: доказательство Конвея теоремы Морли о трисектрисах треугольника; дерево Маркова; сопряжённые числа и уравнение Пелля; наибольшая длина последовательности, сумма любых 11 подряд идущих членов которых положительна, а сумма любых 7 подряд идущих членов отрицательна.

Есть видеозапись:
«Доказательство Конвея теоремы Морли о трисектрисах»;
«Сопряжённые числа. Уравнения Пелля»;
«Вписанная окружность и уравнение третьей степени»;
«Двоякопериодические последовательности, часть 0».

Лекция 2 (295) 29.09.2012

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Перестановки без неподвижных точек

Было рассказано, как двумя разными способами можно посчитать количество перестановок данного множества, не имеющих ни одной неподвижной точки или имеющих ровно одну такую точку. Оказывается, разность между этими количествами равна единице или минус единице в зависимости от того, чётно или нечётно число элементов рассматриваемого множества.

Есть видеозапись.

Лекция 3 (296) 6.10.2012

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Трёхгранные углы

Теорема синусов и теоремы косинусов для трёхгранного угла, формула площади сферы и объёма шара.

Лекция 4 (297) 13.10.2012

Владимир Николаевич ЧУБАРИКОВ,

профессор, исполняющий обязанности декана механико-математического факультета МГУ.

Математика в Московском университете

В рамках «Фестиваля науки» В.Н. Чубариков выступил перед школьниками и их родителями.

Лекция 5 (298) 20.10.2012

Александр Ханиевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН, автор многих брошюр и книг для школьников и студентов.

Алгоритмы и сложность вычислений

Одна и та же программистская задача может быть решена разными способами (алгоритмами). Не все (правильно решающие задачу) алгоритмы одинаково хороши с точки зрения эффективности (времени работы, используемой памяти). Рассмотрели несколько примеров оценки эффективности алгоритмов.

Есть видеозапись: «Угадывание числа при одном возможном неверном ответе» и «Сортировка».

Лекция 6 (299) 27.10.2012

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Тригонометрические тождества

Многими способами были доказаны формулы для синуса и косинуса суммы двух углов.

Лекция 7 (300) 3.11.2012

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Площадь под гиперболой, натуральный логарифм и экспонента

Было рассказано о том, что такое определённый интеграл, каковы свойства площадей, естественным образом связанных с гиперболой y = 1/x, как это связано с логарифмами и обратной к логарифму функцией — экспонентой.

Есть видеозапись 2015-го года:
0. «Вступление о пользе логарифмов»;
1. «Натуральный логарифм как площадь под гиперболой»;
2. «Логарифм двух и знакопеременный гармонический ряд»;
3. «Логарифм и его основное свойство»;
4. «Доказательство основного свойства натурального логарифма»;
5. «Число e»;
6. «Бином Ньютона и разложение числа e в ряд»;
7. «Иррациональность числа e»;
8. «Разложение экспоненты в степенной ряд»;
9. «Разложение натурального логарифма в ряд в окрестности единицы».

Лекция 8 (301) 10.11.2012

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Кеплер и винные очки, австрийские и рейнские

Иоганн Кеплер (1571-1630) начал изучение математического анализа, изучая форму винных бочек и других тел вращения. Было рассказано о неравенстве о среднем арифметическом и среднем геометрическом, а главное — о том, как искать максимум и минимум функции при помощи дифференцирования.

Есть видеозапись:
1. «Колмогоров, Фейнман, Зайцев, Фихтенгольц»;
2. «Тихомиров, два предисловия и производная в точке максимума»;
3. «При помощи производной»;
4. «Замена переменной»;
5. «Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом»;
6. «Доказательство неравенства о средних для трёх чисел»;
7. «Рейнские бочки».

Лекция 9 (302) 17.11.2012

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической статистики механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ, руководитель исследовательского отдела в Яндексе, автор брошюр «Вероятность и алгебра в комбинаторике», «Остроугольные треугольники Данцера-Грюнбаума», «Хроматические числа», «Проблема Борсука», «Линейно-алгебраический метод в комбинаторике», «Системы общих представителей в комбинаторике и их приложения в геометрии», «Модели случайных графов» и «Гипотеза Кнезера и топологический метод в комбинаторике»

Числа Рамсея

Многие знают утверждение: «Среди любых шести человек некоторые трое попарно знакомы или некоторые трое попарно не знакомы.» Аналогичные утверждения можно доказывать и в случаях, когда, скажем, трое попарно знакомы или семеро попарно не знакомы, либо пятеро попарно знакомы или четверо попарно не знакомы, и так далее. Разумеется, в общем случае потребуется больше, чем 6 человек. Сколько? Это одна из задач теории Рамсея. Были сформулированы некоторые результаты этой теории и рассказано о методах, с помощью которых они получены.

Есть видеозапись.

Лекция 10 (303) 24.11.2012

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Двоякопериодические последовательности, суммы отрицательные и положительные

Насколько длинной может быть последовательность, если она одновременно является и периодической с периодом m, и периодической с периодом n?

Насколько длинной может быть последовательность, если сумма любых m её последовательных членов положительна, а сумма любых n её последовательных членов отрицательна?

Эти два вопроса весьма тесно связаны между собой. Если наибольший общий делитель чисел m и n равен d и при этом d не равно 1, то последовательность 1, 2, ..., d можно периодически бесконечно продолжить, тем самым ответив на первый вопрос. Если же d = 1, то ответ на оба вопроса один и тот же: m + n – 2. На второй вопрос ответ в общем случае равен m + n – d – 1.

Есть видеозапись: советую посмотреть сначала рассказ десятиклассника Андрея Волгина, а затем собственно лекцию.

Лекция 11 (304) 1.12.2012

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Многочлены деления круга

Корни многочлена zⁿ – 1 делят единичную окружность на n равных дуг.

Лекция 12 (305) 8.12.2012

Светлана Анатольевна БУРЛАК,

кандидат филологических наук, старший научный сотрудник Института востоковедения РАН и филологического факультета МГУ, член оргкомитета Московской олимпиады по лингвистике и математике, автор многих олимпиадных задач по лингвистике.

Лингвистические задачи

Задачи лингвистической олимпиады самодостаточны — это значит, что для их решения не нужны специальные знания, достаточно лишь уметь логически рассуждать. В этом лингвистика похожа на математику: при описании языка требуется доказывать каждое предположение. Было рассказано о том, что такое язык и как его описывают.

Лекция 13 (306) 9.02.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Огибающие

Восставив в каждой точке параболы перпендикуляр, получаем бесконечное множество прямых. Они касаются одной (гладкой во всех точках, кроме острия) кривой. Было выведено уравнение этой кривой.

Аналогичным способом было выведено уравнение астроиды как огибающей отрезков постоянной длины с концами на двух данных перпендикулярных прямых. При этом потребовался первый замечательный предел, о котором тоже было подробно рассказано.

Есть видеозапись лекции об огибающей в ситуации, когда концы отрезка равномерно движутся по перпендикулярным прямым.

Лекция 14 (307) 16.02.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Бревно в шалаше

Эта лекция — продолжение предыдущей. Речь шла о задачах на максимум и минимум, в том числе о том, как поместить в данный конус цилиндр максимального объёма. Оказывается, эта задача очень трудная и поучительная.

Лекция 15 (308) 2.03.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения весьма важны для математики и физики. Было рассказано о гармонических колебаниях и о резонансе.

Лекция 16 (309) 16.03.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Простые числа

Было рассказано о дружественных и совершенных числах.

Лекция 17 (310) 23.03.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Простые числа

Насколько много существует простых чисел, не превосходящих данного натурального числа?

Лекция 18 (311) 30.03.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Свойства перестановок

Как узнать, насколько длинную возрастающую подпоследовательность содержит данная последовательность чисел? Оказывается, есть очень простой способ: сопоставить каждой перестановке таблицу Юнга. Эта конструкция имеет много очень интересных применений в комбинаторике и алгебре. И она очень красива.

Лекция 19 (312) 6.04.2013

Сергей Борисович ГАШКОВ,

автор книг «Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений», «Элементарное введение в эллиптическую криптографию», «Криптографические методы защиты информации», «Современная элементарная алгебра в задачах и упражнениях», «Системы счисления и их применения».

Побитовое сложение, треугольник Паскаля и салфетка Серпинского

Было рассказано о связях между сложением чисел в двоичной системе счисления, треугольнике Паскаля по модулю два и одной элементарной теореме знаменитого немецкого математика Куммера.

Есть видеозапись:
1. «Сложение одноразрядных чисел в двоичной системе счисления»;
2. «Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты»;
3. «Явная формула для чисел треугольника Паскаля»;
4. «Формулы для разрядов суммы однозначных чисел и числа сочетаний»;
5. «Треугольник Паскаля по модулю два»;
6. «Формулы Куммера и Лежандра»;
7. «Количество чисел 2012-й строки треугольника Паскаля, кратных числу 3»;
8. «Количество чисел 2012-й строки треугольника Паскаля, кратных числу 3»;
9. «Сложность вычислений».

Лекция 20 (313) 13.04.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Разложение дробей на простейшие

Леонард Эйлер открыл свойство дробей, которое было затем переоткрыто и послужило темой статьи Васильева и Гутенмахера в журнале «Квант». Оно связано с интерполяционной формулой Лагранжа, а также со свойствами биномиальных коэффициентов и другими математическими конструкциями.

Есть видеозапись.

Лекция 21 (314) 20.04.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Цепные дроби

Одна из важнейших математических конструкций — цепные дроби.

Целая и дробная части числа. Пол и потолок. Разложения рациональных чисел и корня из двух в цепные дроби. Подходящие дроби, рекуррентные соотношения между неполными частными и числителями (и знаменателями) подходящих дробей. Континуанты Эйлера. Оценка расстояния между числом и его подходящей дробью.

Есть видеозапись.

Лекция 22 (315) 27.04.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель гимназии 1543.

Теорема Ван дер Вардена. Плотности последовательностей. Сумма двух последовательностей

При любой раскраске натурального ряда в несколько цветов найдётся сколь угодно длинная арифметическая одноцветная прогрессия. Эту теорему доказал Ван дер Варден (1903-1996). На лекции было рассказано доказательство М.А. Лукомской.

Для любой последовательности натуральных чисел её плотностью называем (взятую по всем натуральным n) точную нижнюю грань отношения количества её членов, не превышающих n, к самому n. Суммой двух последовательностей называем объединение самих этих последовательностей с множеством сумм, первое слагаемое в каждой из которых принадлежит первой последовательности, а второе — второй. Оказывается, если плотность суммы двух последовательностей не меньше единицы, то сумма этих последовательностей совпадает со всем натуральным рядом. А в других случаях плотность суммы не меньше суммы плотностей! Это доказал Манн в 1942 году, а по-русски это рассказано в книге А.Я. Хинчина «Три жемчужины теории чисел».

Есть видеозапись.