МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 1. Cумма цифр числа (06.10.2007)

1.

Существует ли такое натуральное число, что сумма его цифр больше суммы цифр его квадрата?

2.

Вспомните доказательство того, что любое натуральное число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 3 и на 9.

3.

Возьмём любое 2007-значное число, делящееся на 9. Сумму его цифр обозначим через a, сумму цифр числа a - через b, сумму цифр b - через c. Чему равно c?

4.

Докажите, что число 1234567891011…2001 (подряд выписаны числа от 1 до 2001) не является точным квадратом.

5.

Квадрат суммы цифр двузначного числа A равен сумме цифр числа A². Найдите все такие A.

6.

Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа?

7.

Обозначим через S(x) сумму цифр натурального числа x. Решите уравнения:

а)

x + S(x) + S(S(x))=1993;

б)

x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x)))=1993.

8.

Натуральное число N в 99…9 (цифра 9 повторяется k раз) раз больше суммы своих цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.