МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 6. Счастливые билеты (10.11.2007)

Билет с шестизначным номером от 000000 до 999999 называется счастливым, если сумма его первых трех цифр равна сумме последних трех цифр.

Будем обозначать через a_k количество трёхзначных чисел с суммой цифр, равной k.

1.

Чему может быть равна сумма цифр счастливого билета?

2.

а)

Докажите, что количество счастливых билетов с суммой цифр 2k равно a_k².

б)

Докажите, что количество счастливых билетов равно a₀² + a₁² + … + a₂₇².

3.

а)

Докажите, что a_k=a_{27 − k}.

б)

Докажите, что количество счастливых билетов равно 2(a₀² + a₁² + … + a₁₃².

4.

а)

Докажите, что число способов представить натуральное число n > 2 в виде суммы трёх натуральных слагаемых равно C²_{n − 1} (числу способов выбрать 2 предмета из n − 1).

б)

Докажите, что число способов представить натуральное число n в виде суммы трёх целых неотрицательных слагаемых равно C²_{n + 2} (числу способов выбрать 2 предмета из n + 2).

5.

а)

Докажите, что a_k=C²_{k + 2}=(k + 2)(k + 1)⁄2 при k < 10.

б)

Найдите a₀, a₁, …, a₉.

6.

а)

Докажите, что при 10 ≤ k ≤ 19 количество плохих троек равно 3a_{k − 10}.

б)

Найдите a₁₀, a₁₁, a₁₂, a₁₃.

7.

Вычислите количество счастливых билетов.

8.

Сколько билетов надо купить подряд в автобусной кассе, чтобы наверняка попался счастливый?